Πώς ένα διαφορετικό αναπόσπαστο τμήμα διαφέρει από ένα αόριστο

Σήμερα, η λέξη "Integral" ακούγεται αρκετά συχνά και, συχνά, στα πιο απροσδόκητα σημεία, για παράδειγμα στο κανάλι χρηματιστηρίου στην τηλεόραση ή στις ειδήσεις. Συχνά ακούμε τη φράση "ενσωματωμένοι δείκτες", η λέξη "ολοκληρωμένη", "ενοποιητική" και τα παρόμοια. Λοιπόν, σε γενικές γραμμές, οι αξιωματούχοι και οι τηλεοπτικοί παρουσιαστές, γενικά, αγαπούν τα διάφορα λόγια, αν και είναι απίθανο να κατανοήσουν το πραγματικό τους νόημα. Και σήμερα θα μιλήσουμε για το τι είναι το αναπόσπαστο τμήμα, ποιους τύπους ολοκλήρου υπάρχουν και ποιες είναι οι διαφορές τους.

Τι είναι το ενιαίο

Το Integral είναι μια λατινική λέξη που ήρθε σε μας από την αρχαιότητα και σημαίνει "ολόκληρο" ή "πλήρες". Δηλαδή, είναι σαφές ότι εάν ένα αντικείμενο ειπώθηκε για ένα αντικείμενο, για παράδειγμα, ένα δοχείο γάλακτος, αυτό σήμαινε ότι ήταν γεμάτο, και πόσο γάλα ήταν μέσα σε αυτό, έμεινε τόσο πολύ.

Με την πάροδο του χρόνου, αυτή η λέξη άρχισε να χρησιμοποιείται σε εντελώς διαφορετικούς κλάδους - στη φιλοσοφία, την πολιτική, την οικονομία, την άλγεβρα και τη γεωμετρία. Αλλά η απλούστερη ερμηνεία του ολοκλήρου δίνεται από τα μαθηματικά.

Ορισμένα ενιαία

Έτσι, το ενιαίο είναι ένα ορισμένο άθροισμα ξεχωριστών τμημάτων. Εδώ είναι τα πιο απλά παραδείγματα για μια σαφέστερη κατανόηση της ουσίας αυτού του όρου:

  1. Το υποκείμενο είναι το ακέραιο (άθροισμα) των μορίων.
  2. Ένα φύλλο σε ένα κύτταρο είναι ένα ενιαίο σύνολο των κυττάρων.
  3. Το ηλιακό σύστημα είναι το ακέραιο (άθροισμα) του ήλιου και των πλανητών.
  4. Η κοινωνία είναι ένα ενιαίο σύνολο των ανθρώπων.
  5. Το τμήμα είναι το ολοκληρωμένο (άθροισμα) μετρητών. Αν ένα μικρό τμήμα, έπειτα εκατοστόμετρα, χιλιοστά ή μικροσκοπικά τμήματα.
  6. Η επιφάνεια οποιασδήποτε επιφάνειας είναι ένα ενιαίο τετραγωνικό μέτρο, τετραγωνικά εκατοστά ή χιλιοστά, καθώς και μικροσκοπικές περιοχές.
  7. Ο όγκος είναι το ολοκλήρωμα των κυβικών μέτρων ή, όπως ονομάζονται - λίτρα.

Τι καθορίζονται και αόριστα ολοκληρώματα;

Ας ξεκινήσουμε με μια σαφή, δεδομένου ότι το νόημά της είναι ευκολότερο να κατανοηθεί.

Η γεωμετρία μελετά την περιοχή . Για παράδειγμα, εάν θέλετε να κολλήσετε ταπετσαρία στο σπίτι, πρέπει να γνωρίζετε την περιοχή των τοίχων για να μάθετε πόση ταπετσαρία θα πρέπει να αγοράσετε. Στη συνέχεια απλά πολλαπλασιάζετε το μήκος του τοίχου από το ύψος και παίρνετε την περιοχή του. Στην περίπτωση αυτή, αυτή η περιοχή είναι ένα ενιαίο τετραγωνικό μέτρο ή εκατοστόμετρο, ανάλογα με τις μονάδες στις οποίες το μετρήσατε. Αλλά οι επιφάνειες των οποίων η περιοχή πρέπει να υπολογίσουμε δεν έχουν πάντα σχήμα ορθογωνίου, τετραγώνου ή ακόμα και κύκλου. Στις περισσότερες περιπτώσεις, αυτά είναι σύνθετα σχήματα με κυματιστές πλευρές. Το πιο συνηθισμένο παράδειγμα είναι η περιοχή ενός σχήματος κάτω από μια καμπύλη που έχει την εξίσωση y = 1 / x. Το γεγονός είναι ότι είναι αδύνατο να βρεθεί η περιοχή του χρησιμοποιώντας συνηθισμένες φόρμουλες, με τις οποίες βρίσκουμε την περιοχή ενός τετραγώνου, ενός κύκλου ή ακόμα και μιας σφαίρας. Για το σκοπό αυτό, αναπτύχθηκε ένα οριστικό ολοκλήρωμα.

Η ουσία της μεθόδου είναι ότι το περίπλοκο σχήμα μας πρέπει να χωριστεί σε πολύ στενά ορθογώνια, τόσο στενά ώστε το ύψος των δύο παρακείμενων να είναι σχεδόν ίσο. Είναι σαφές ότι, στην πραγματικότητα, είναι δυνατό να μειωθεί το πάχος αυτών των ορθογωνίων απεριόριστα, οπότε το μέγεθος dx χρησιμοποιείται για να δηλώσει το πάχος τους. Το X είναι η συντεταγμένη και το πρόθεμα d είναι ο προσδιορισμός μιας απείρως μειούμενης ποσότητας. Επομένως, όταν γράφουμε dx - αυτό σημαίνει ότι παίρνουμε ένα τμήμα κατά μήκος του άξονα x, το μήκος του οποίου είναι πολύ μικρό, σχεδόν μηδέν.

Έτσι, έχουμε ήδη συμφωνήσει ότι η περιοχή οποιασδήποτε μορφής είναι ένα ενιαίο τετραγωνικό μέτρο ή οποιαδήποτε άλλη μορφή με μικρότερες περιοχές. Τότε η φιγούρα μας, η περιοχή της οποίας ψάχνουμε, είναι το αναπόσπαστο ή το άθροισμα αυτών των ατελείωτα λεπτών ορθογωνίων στα οποία έχουμε χωρίσει. Και η περιοχή είναι το άθροισμα των περιοχών τους. Δηλαδή, ολόκληρο το καθήκον μας είναι να βρούμε την περιοχή καθενός από αυτά τα ορθογώνια, και στη συνέχεια να τα προσθέσουμε όλα - αυτό είναι ένα οριστικό αναπόσπαστο μέρος.

Τώρα ας μιλήσουμε για το αόριστο ολοκλήρωμα. Απλά για να καταλάβετε τι είναι, πρέπει πρώτα να μάθετε για το παράγωγο. Ας αρχίσουμε λοιπόν.

Το παράγωγο είναι η γωνία κλίσης της εφαπτομένης σε οποιοδήποτε γράφημα σε κάποιο σημείο. Με άλλα λόγια, το παράγωγο είναι πόσο το γράφημα κλίνει σε ένα δεδομένο σημείο. Για παράδειγμα, μια ευθεία γραμμή σε οποιοδήποτε σημείο έχει την ίδια κλίση και η καμπύλη είναι διαφορετική, αλλά μπορεί να επαναληφθεί. Για τον υπολογισμό του παραγώγου υπάρχουν ειδικοί τύποι και η διαδικασία του υπολογισμού του ονομάζεται διαφοροποίηση. Δηλαδή η διαφοροποίηση είναι ο προσδιορισμός της γωνίας του γραφήματος σε ένα δεδομένο σημείο.

Πίνακας βασικών απεριόριστων ολοκληρώσεων

Και για να γίνει το αντίθετο - για να μάθετε τον τύπο του γραφήματος από τη γωνία της κλίσης του, να καταφύγετε στη λειτουργία της ολοκλήρωσης ή στην άθροιση των δεδομένων για όλα τα σημεία. Η ολοκλήρωση και η διαφοροποίηση είναι δύο αμοιβαίες διαδικασίες. Μόνο εδώ δεν χρησιμοποιούν το ενιαίο, το οποίο ήταν στην πρώτη παράγραφο (για τον προσδιορισμό της περιοχής), αλλά το άλλο - το αόριστο, δηλαδή, χωρίς όρια.

Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε ότι το παράγωγο μιας συγκεκριμένης συνάρτησης είναι ίσο με το 5. 5 είναι η γωνία του γραφήματος στον άξονα x σε ένα δεδομένο σημείο. Στη συνέχεια, με την ενσωμάτωση του παραγώγου, μαθαίνουμε ότι η συνάρτηση αυτού του παραγώγου, που ονομάζεται επίσης πρωτόγονος, είναι y = 5x + c, όπου c είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Για την ολοκλήρωση, καθώς και για τη διαφοροποίηση, υπάρχουν ειδικοί τύποι που μπορούν να βρεθούν στους πίνακες.

Συμπέρασμα

Συμπερασματικά, ας συνοψίσουμε ότι η κύρια διαφορά ανάμεσα σε ένα καθορισμένο ολοκληρωμένο και αόριστο είναι στις αποστολές τους. Ορισμένα ολοκληρώματα χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό οριοθετημένων παραμέτρων, όπως η περιοχή, το μήκος ή ο όγκος, και απεριόριστος, κατά τον υπολογισμό παραμέτρων που δεν έχουν σύνορα, δηλαδή λειτουργίες.

Ενδιαφέρον βίντεο σχετικά με αυτό το θέμα:

Συνιστάται

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ ενός πλοίου και ενός πλοίου: περιγραφή και διαφορές
2019
Πώς διαφέρει το αρχικό φυσίγγιο από το συμβατό;
2019
Ξήρανση ξηρού και τυριού: χαρακτηριστικά και διαφορές
2019